Question

已知{a n }是公差为2的等差数列，且a 3 +1是a l +1与a 7 +1的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（

已知{a n }是公差为2的等差数列，且a 3 +1是a l +1与a 7 +1的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n = a n -1 2 n (n∈ N * ) ，求数列{b}的前n项和T n ．

Answer 1

（1）∵{a n }是公差为2的等差数列， ∴a 3 =a 1 +4，a 7 =a 1 +12， ∵且a 3 +1是a l +1与a 7 +1的等比中项， ∴（a 3 +1） 2 =（a 1 +1）（a 7 +1）， ∴ ( a 1 +5) 2 =( a 1 +1)( a 1 +13) ， 解得a 1 =3， ∴a n =3+2（n-1）， ∴a n =2n+1． （2） b n = a n -1 2 n = 2n+1-1 2 n = n 2 n-1 ， ∴ T n = 1 2 0 + 2 2 1 +…+ n-1 2 n-2 + n 2 n-1 ，① ∴ 1 2 T n = 1 2 1 + 2 2 2 +…+ n-1 2 n-1 + n 2 n ，② ①-②，得 1 2 T n =1+ 1 2 + 1 2 2 +…+ 1 2 n-1 - n 2 n = 1- 1 2 n 1- 1 2 - n 2 n =2- 2 2 n - n 2 n ， ∴ T n =4- 2n+4 2 n ．