Question

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB．A，B两点的坐标分别是（-1，0），（0，2），C，D两点在反比

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB．A，B两点的坐标分别是（-1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y= k x （k＜0）的图象上，则k等于______．

Answer 1

设点C坐标为（a， k a ），（a＜0），点D的坐标为（x，y）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC与BD的中点坐标相同， ∴（ a-1 2 ， k 2a ）=（ x 2 ， y+2 2 ）， 则x=a-1，y= k-2a a ， 代入y= k x ，可得：k=2a-2a 2 ①； 在Rt△AOB中，AB= OA 2 +O B 2 = 5 ， ∴BC=2AB=2 5 ， 故BC 2 =（0-a） 2 +（ k a -2） 2 =（2 5 ） 2 ， 整理得：a 4 +k 2 -4ka=16a 2 ， 将①k=2a-2a 2 ，代入后化简可得：a 2 =4， ∵a＜0， ∴a=-2， ∴k=-4-8=-12． 故答案为：-12． 方法二： 因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点A、B分别向左平移a，向上平移b得到的． 故设点C坐标是（-a，2+b），点D坐标是（-1-a，b），（a＞0，b＞0） 根据K的几何意义，|-a|×|2+b|=|-1-a|×|b|， 整理得2a+ab=b+ab， 解得b=2a． 过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中， 由已知易得AD=2 5 ，AH=a，DH=b=2a． AD 2 =AH 2 +DH 2 ，即20=a 2 +4a 2 ， 得a=2． 所以D坐标是（-3，4） 所以|K|=12，由函数图象在第二象限， 所以k=-12．