Question

如图（1），已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点 O，它的顶点坐标为（5，254），在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C

如图（1），已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点 O，它的顶点坐标为（5，254），在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、．D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若AB=6，求AD的长；（3）设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．（4）如图（2），若直线y=x交抛物线的对称轴于点N，P为直线y=X上一个动点，过点P作X轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线y=x上是否存在点P，使得以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，

25

4

），且图象过（0，0）点，
代入顶点式得：
y=a（x-5）²+

25

4

，
将（0，0）代入解析式得：
∴0=a（0-5）²+

25

4

，
解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）²+

25

4

；

（2）∵此函数顶点坐标为（5，

25

4

），且图象过（0，0）点，
∴图象与x轴另一交点为：（10，0），
当AB=6时，
∴AO=（10-6）÷2=2，
∴x=2代入解析式得：
y=-0.25（2-5）²+6.25；
y=4，
∴AD=4；

（3）假设AO=x，可得AB=10-2x，
∴AD=-0.25（x-5）²+6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：l=2[-0.25（x-5）²+6.25]+2（10-2x）=-0.5x²+x+20，
∴l的最大值为：

4ac?b 2

4a

=

4×(? 1 2 )×20?1

?2

=20.5．

（4）当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的图象上，∴设P（m，m）．
∵过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5=

?m2+10m

4

，
解得：m=5±

5

，
当∠P₃NQ₃=90°时，过点Q₃作Q₃K₁⊥对称轴，
当△NQ₃K₁为等腰直角三角形时，△NP₃Q₃为等腰直角三角形，
Q点在OM的上方时，P₃Q₃=2Q₃K₁，P₃Q₃=-

1

4

x2 +

5

2

x-x，
Q₃K₁=5-x，
Q点在OM的下方时，P₄Q₄=2Q₄K₂，P₄Q₄=x-（-

1

4

x2 +

5

2

x），
Q₄K₂=x-5，
∴

1

4

x²-

7

2

x+10=0，
解得：x₁=4，x₂=10，
P₃（4，4），P₄（10，10）
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：
（5-

5

，5-

5

）或（5+

5

，5+

5

）或（4，4）或（10，10）．