设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=2x2

设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=2x2-12x-18,若在区间(0,+∞)上关于函数... 设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=2x2-12x-18,若在区间(0,+∞)上关于函数y=f(x)-loga(x+1)有3个不同的零点,则a的取值范围为______. 展开
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若素63053
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∵f(x+2)=f(x)-f(1),且f(x)是定义域为R的偶函数,
∴令x=-1 可得f(-1+2)=f(-1)-f(1),∴2f(1)=f(-1),
由偶函数的性质可得f(-1)=f(1),∴f(1)=0
∴f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的偶函数,
∵当x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18=-2(x-3)2
图象为开口向下,顶点为(3,0)的抛物线,
∵若在区间(0,+∞)上关于x的函数y=f(x)-loga(x+1)有3个不同的零点,
∴y=f(x)与y=loga(x+1)有3个不同的交点,
数形结合可得0<a<1且
loga3>?2
loga5<?2
,解得
5
5
<a<
3
3

故答案为:(
5
5
3
3

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