Question

已知各项均为整数的等比数列{an}，公比q＞1，且满足a2a4=64，a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列的通项

已知各项均为整数的等比数列{an}，公比q＞1，且满足a2a4=64，a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列的通项公式（2）设An=an+1-2，Bn=log22an+1，试比较An与Bn的大小，并证明你的结论．

Answer 1

（1）

因为a2a4＝64

，∴a32＝64，a3＝±8.，∴a3＝8，a₃+2是a₂，a₄的等差中项，所以a₂=4，a₄=16，所以数列的通项公式a_n=2ⁿ．
（2）

由(1)得An＝2n+1?2，Bn＝lo g 2 2 2n+1＝(n+1)2， 当n＝1时，A1＝2，B1＝(1+1)2＝4，A1＜B1； 当n＝2时，A2＝6，B2＝(2+1)2＝9，A2＜B2； 当n＝3时，A13＝14，B3＝(3+1)2＝16，A3＜B3； 当n＝4时，A4＝30，B4＝(4+1)2＝25，A4＞B4； 由上可以猜想，当1≤n≤3时，An＜Bn；当n≥4时，An＞Bn

下面用数学归纳法给出证明：
①当n=4时，已验证不等式成立．
②

假设n＝k(k≥4)时，Ak＞Bk成立，即2k+1?2＞(k+1)2 当n＝k+1时，Ak+1＝2k+2?2＝2(2k+1?2)+2＞2(k+1)2+2＝2k2+4k+4 ＞k2+4k+4＝[(k+1)+1]2＝Bk+1 即当n＝k+1时不等式也成立．

由①②知，当n≥4（n∈N^*）时，A_n＞B_n
综上，当1≤n≤3时，A_n＜B_n；当n≥4时，A_n＞B_n