Question

如图所示，倾角θ=30°、长L=2.7m的斜面，底端与一个光滑的14圆弧平滑连接，圆弧底端切线水平．一个质量

如图所示，倾角θ=30°、长L=2.7m的斜面，底端与一个光滑的14圆弧平滑连接，圆弧底端切线水平．一个质量为m=1kg的质点从斜面最高点A沿斜面下滑，经过斜面底端B恰好到达圆弧最高点C，又从圆弧滑回，能上升到斜面上的D点，再由D点由斜面下滑沿圆弧上升，再滑回，这样往复运动，最后停在B点，已知质点与斜面间的动摩擦因数u=36，g=10m/s2，假设质点经过斜面与圆弧平滑连接处速率度不变．求：（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力；（2）质点从A到D的过程中质点下降的调试；（3）质点从开始到最终停在B点的过程中因与斜面摩擦产生的热量．

Answer 1

（1）设圆弧的半径为R，则质点从C到B过程，根据动能定理，有：
mgR=

1

2

mv²
在B点，根据牛顿第二定律，有：
N-mg=m

v2

R

联立解得：
N=3mg=3×1×10N=30N
根据牛顿第三定律，质点第1次经过B点对圆弧轨道的压力为30N．
（2）设质点第一次由B点沿斜面上滑的速度为v₁，B点到D点的距离为L₁
A到B过程：
mgLsin30°-μmgcos30°L=

1

2

m

v

2 1

B到D过程：
-mgL₁sin30°-μmgcos30°L₁=0-

1

2

m

v

2 1

代入数据解得：
L₁=

1

3

L=0.9m
则质点从A点到D点重力势能的变化为：
△E_p=mg（L₁-L）sin30°=-9J
（3）质点从开始到最终停在B点的过程中，减小的机械能全部转化为内能，故：
Q=mgLsinθ=1×10×2.7×

1

2

=13.5J
答：（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力为30N；
（2）质点从A到D的过程中质点下降的调试-9J；
（3）质点从开始到最终停在B点的过程中因与斜面摩擦产生的热量为13.5J．