Question

已知函数f（x）=ex+a?e-x（a∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）当a＜0时，求函数f（x）在

已知函数f（x）=ex+a?e-x（a∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）当a＜0时，求函数f（x）在[-1，1]上的值域；（3）当a=1时，若函数g（x）=f（x）+|x|，求满足不等式g（2x-1）＜g（3）的x的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=e^x+a?e^-x（a∈R）为奇函数，
∴f（0）=e⁰+a?e⁰=0，
解得a=-1．
（2）∵a＜0，f′（x）=e^x-a?e^-x，
∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）_max=f（1）=e-

a

e

，f（x）_min=f（-1）=

1

e

?ae，
∴函数f（x）在[-1，1]上的值域为[

1

e

?ae，e-

a

e

]．
（3）a=1时，函数g（x）=f（x）+|x|=e^x+e^-x+|x|是偶函数，
且当x≥0时，g（x）=e^x+e^-x+x，
g′（x）=e^x-e^-x+1=

e2x?1

ex

+1＞0，
即函数f（x）在[0，+∞）上单调增加，
当2x-1≥0时，2x-1＜3，解得

1

2

≤x＜2；
当2x-1＜0时，不等式g（2x-1）＜g（3），即g（1-2x）＜g（3），
∴1-2x＜3，解得-1＜x＜

1

2

．
综上所述，满足不等式g（2x-1）＜g（3）的x的取值范围是（-1，2）．