Question

已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．

已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．

Answer 1

PQ 为直线与圆N的交点。
则作圆N的圆心N至PQ的垂线，由垂径定得即有 垂足M 就是新以PQ为直径的圆的圆心了。

这条垂线段所在直线的方程 它与已知直线垂直，斜率互为负倒数，过原圆的圆心。
原圆进行配方，写成标准式
（x+1/2）^2+(y-3)^2=37/4-m
圆心为N（-1/2,3）
原直线L标准式 y=-x/2+3/2 ===》 k1=2
故垂线段NM 所在直线方程 点斜式。 y=2x+4
联立原直线L 与NM直线的方程，求到的交点即是 M点。
M（-1,2）
那新圆M 的半径就是OM了 （O为原点。。因为O在圆上嘛）
r=√5
则PQ=2r=2√5
N 至原直线L的距离为d
d= √5/2
由NMP构成直角三角形。。勾股定理 求到原圆N的半径为 R=5/2
故回到圆N标准方程右侧
R^2=37/4-m
37-4m=25
m=3