Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线 从点O沿OA

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线 从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到点A时停止移动。 （1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点的横坐标为m， ①用m的代数式表示点P的坐标； ②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）设OA所在直线的函数解析式为 ， ∵A（2，4）， ∴2k=4，即k=2， ∴OA所在直线的函数解析式为y=2x。 （2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动， ∴ （0≤m≤2）。 ∴顶点M的坐标为（m，2m）。 ∴抛物线函数解析式为 ， ∴当x=2时， = （0≤m≤2）。 ∴点P的坐标是（2， ）； ②∵PB= = ， 又∵0≤m≤2， ∴当m=1时，PB最短。
（3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为 ， 假设在抛物线上存在点Q，使 。 设点Q的坐标为（x， ）， ①当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC//AO，交y轴于点C， ∵ ， ， ， ∵点P的坐标是（2，3）， ， ∴ = ， 解得 ，即点Q（2，3）， 相等。， ②当点Q落在直线OA的上方时， ∴此时抛物线上存在点 ， 综上所述，抛物线上存在点 ，