Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）有两个零点；（2）若x 1 ，x 2

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）有两个零点；（2）若x 1 ，x 2 ∈R，x 1 ＜x 2 ，f（x 1 ）≠f（x 2 ），证明方程 f(x)- 1 2 [f( x 1 )+f( x 2 )]=0 在区间（x 1 ，x 2 ）内有一个实根．

Answer 1

证明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0， 又∵a＞b＞c，∴3a＞a+b+c＞3c，即a＞0＞c． ∴a＞0，c＜0，即ac＜0， ∴△=b 2 -4ac≥-4ac＞0， ∴方程ax 2 +bx+c=0有两个不等实根，∴f（x）有两个零点．  （2）设 g(x)=f(x)- 1 2 [f( x 1 )+f( x 2 ] ， 则 g( x 1 )=f( x 1 )- 1 2 [f( x 1 )+f( x 2 )]= 1 2 [f( x 1 )-f( x 2 )] ， g( x 2 )=f( x 2 )- 1 2 [f( x 1 )+f( x 2 )]= 1 2 [f( x 2 )-f( x 1 )] ， g( x 1 )?g( x 2 )= 1 2 [f( x 1 )-f( x 2 )]? 1 2 [f( x 2 )-f( x 1 )]=- 1 4 [f( x 1 )-f( x 2 ) ] 2 ， ∵f（x 1 ）≠f（x 2 ），∴g（x 1 ）?g（x 2 ）＜0， 又函数g（x）在区间[x 1 ，x 2 ]上的图象是连续不断的一条曲线，由函数零点的判定定理可得： g（x）=0在（x 1 ，x 2 ）内有一个实根．