Question

已知a，b都是正整数，试问关于x的方程 x 2 -abx+ 1 2 (a+b)=0 是否有两个整数解？如果有，

已知a，b都是正整数，试问关于x的方程 x 2 -abx+ 1 2 (a+b)=0 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．

Answer 1

关于x的方程 x 2 -abx+ 1 2 (a+b)=0 有两个整数解． 不妨设a≤b，且方程的两个整数根为x 1 ，x 2 （x 1 ≤x 2 ），而a，b都是正整数， ∴x 1 +x 2 =ab＞0，x 1 x 2 = 1 2 （a+b）＞0， ∴如果原方程存在两整数根，则两根必为正整数． 当a，b 中至少有一个等于1时，a+b≥ab； 不妨设a=1，此时有 1 2 （a+b）= 1 2 （1+b）≤b=ab （当且仅当b=1时等号成立）， 其余情况下都有 1 2 （a+b）＜a+b≤ab； ∴x 1 x 2 ≤x 1 +x 2 ， ∴x 1 x 2 -x 1 -x 2 +1≤1， ∴（x 1 -1）（x 2 -1）≤1， ∴x 1 =1， ∴x 2 = 1 2 （a+b）， ∴1+ 1 2 （a+b）=ab，即2+a+b=2ab， ∴（a-1）（b-1）=3-ab，而a，b都是正整数， ∴3-ab≥0， 所以a=1，b=3，或a=3，b=1． ∴x 2 =2， ∴a=1，b=3，一元二次方程为x 2 -3x+2=0，它的两个根为x 1 =1，x 2 =2．