Question

已知双曲线的左右焦点分别为F 1 、F 2 ，点P在双曲线的右支上，且|PF 1 |=4|PF 2 |，则此双曲线的离心率e

已知双曲线的左右焦点分别为F 1 、F 2 ，点P在双曲线的右支上，且|PF 1 |=4|PF 2 |，则此双曲线的离心率e的取值范围为______．

Answer 1

∵|PF 1 |=4|PF 2 |， ∴由双曲线的定义可得|PF 1 |-|PF 2 |=3|PF 2 |=2a， ∴|PF 2 |= 2a 3 ， ∵点P在双曲线的右支上， ∴|PF 2 |≥c-a， ∴ 2a 3 ≥c-a， ∴ e= c a ≤ 5 3 ， ∵e＞1， ∴ 1＜e≤ 5 3 ， ∴双曲线的离心率e的取值范围为（1， 5 3 ]． 故答案为：（1， 5 3 ]．