Question

已知等差数列{a n }的前n项和为S n ，且S 10 =55，S 20 =210．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设 b

已知等差数列{a n }的前n项和为S n ，且S 10 =55，S 20 =210．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设 b n = a n a n+1 ，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N * ），使得b 1 、b m 、b k 成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设等差数列{a n }的公差为d，则 S n =n a 1 + n(n-1) 2 d ．（1分） 由已知，得 10 a 1 + 10×9 2 d=55 20 a 1 + 20×19 2 d=210. （3分） 即 2 a 1 +9d=11 2 a 1 +19d=21. 解得 a 1 =1 d=1. （5分） 所以a n =a 1 +（n-1）d=n（n∈N * ）．（6分） （2）假设存在m、k（k＞m≥2，m，k∈N），使得b 1 、b m 、b k 成等比数列， 则b m 2 =b 1 b k ．（7分） 因为 b n = a n a n+1 = n n+1 ，（8分） 所以 b 1 = 1 2 ， b m = m m+1 ， b k = k k+1 ． 所以 ( m m+1 ) 2 = 1 2 × k k+1 ．（9分） 整理，得 k= 2 m 2 - m 2 +2m+1 ．（10分） 因为k＞0，所以-m 2 +2m+1＞0．（11分） 解得 1- 2 ＜m＜1+ 2 ．（12分） 因为m≥2，m∈N * ， 所以m=2，此时k=8． 故存在m=2、k=8，使得b 1 、b m 、b k 成等比数列．（14分）