Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点．（Ⅰ）证明：AC1∥平面BDE；（Ⅱ）证明：AC1⊥BD

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点．（Ⅰ）证明：AC1∥平面BDE；（Ⅱ）证明：AC1⊥BD．

Answer 1

解：（ I）证明：连接AC交BD于O，连接OE，
∵ABCD是正方形，
∴O为AC的中点，
∵E是棱CC₁的中点，
∴AC₁∥OE．
又∵AC₁?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE．
（ II）证明：
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
∵CC₁⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴CC₁⊥BD．
又∵CC₁∩AC=C，
∴BD⊥平面ACC₁．
又∵AC₁?平面ACC₁，
∴AC₁⊥BD．