Question

（2014?山西）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为

（2014?山西）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（-2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和?OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和?O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设?O′A′B′C′与?OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线W的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线W经过O（0，0）、A（4，0）、C（-2，3）三点，
∴

c＝0 16a+4b+c＝0 4a?2b+c＝3

，
解得：

a＝ 1 4 b＝?1 c＝0

∴抛物线W的解析式为y=

1

4

x²-x．
∵y=

1

4

x²-x=

1

4

（x-2）²-1，∴顶点D的坐标为（2，-1）．

（2）由?OABC得，CB∥OA，CB=OA=4．
又∵C点坐标为（-2，3），
∴B点的坐标为（2，3）．
如答图2，过点B作BE⊥x轴于点E，由平移可知，点C′在BE上，且BC′=m．

∴BE=3，OE=2，∴EA=OA-OE=2．
∵C′B′∥x轴，
∴△BC′G∽△BEA，
∴

BC′

BE

＝

C′G

EA

，即

m

3

＝

C′G

2

，
∴C′G=

2

3

m．
由平移知，?O′A′B′C′与?OABC的重叠部分四边形C′HAG是平行四边形．
∴S=C′G?C′E=

2

3

m（3-m）=-

2

3

（x-

3

2

）²+

3

2

，
∴当m=

3

2

时，S有最大值为