Question

设函数y=y（x）在（-∞，+∞）内具有二阶导数，且y′（x）≠0，x=x（y）是y=y（x）的反函数．（Ⅰ）将x=x

设函数y=y（x）在（-∞，+∞）内具有二阶导数，且y′（x）≠0，x=x（y）是y=y（x）的反函数．（Ⅰ）将x=x（y）所满足的微分方程d2xdy2+（y+sinx）(dxdy)3=0变换为y=y（x）满足的微分方程；（Ⅱ）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）=0，y′（0）=32的解．

Answer 1

（1）由反函数的求导公式知

dx

dy

＝

1

y′

，于是有

d2x

dy2

＝

d

dy

(

dx

dy

)=

d

dx

(

1

y′

)?

dx

dy

=

?y″

y′2

?

1

y′

＝?

y″

(y′)3

．
代入原微分方程得y″-y=sinx．（*）
（2）方程（*）所对应的齐次方程y″-y=0的特征方程为λ²-1=0，
特征值为 λ_1，2 =±1，
通解为Y＝C1ex+C2e?x．
因为方程（*）的非齐次项为f（x）=sinx=e⁰sinx，且 i不是特征根，
故设方程（*）的特解为y^*=Acosx+Bsinx，
代入方程（*），求得A＝0，B＝?

1

2

，
故y*＝?

1

2

sinx，
从而y″-y=sinx的通解是
y＝Y+y*＝C1ex+C2e?x?

1

2

sinx．
由y(0)＝0，y′(0)＝

3

2

，得C₁=1，C₂=-1．
故所求初值问题的解为y＝ex?e?x?

1

2

sinx．