设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y′(x)≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.(Ⅰ)将x=x
设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y′(x)≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.(Ⅰ)将x=x(y)所满足的微分方程d2xdy2+(y+sinx)...
设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y′(x)≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.(Ⅰ)将x=x(y)所满足的微分方程d2xdy2+(y+sinx)(dxdy)3=0变换为y=y(x)满足的微分方程;(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y′(0)=32的解.
展开
凌厉小寇TA仸
推荐于2016-12-01
·
超过67用户采纳过TA的回答
关注
(1)由
反函数的求导公式知
=,于是有
=()=
()?=
?=?.
代入原
微分方程得y″-y=sinx.(*)
(2)方程(*)所对应的
齐次方程y″-y=0的
特征方程为λ
2-1=0,
特征值为 λ
1,2 =±1,
通解为
Y=C1ex+C2e?x.
因为方程(*)的非齐次项为f(x)=sinx=e
0sinx,且 i不是特征根,
故设方程(*)的特解为y
*=Acosx+Bsinx,
代入方程(*),求得
A=0,B=?,
故
y*=?sinx,
从而y″-y=sinx的通解是
y=Y+y*=C1ex+C2e?x?sinx.
由
y(0)=0,y′(0)=,得C
1=1,C
2=-1.
故所求初值问题的解为
y=ex?e?x?sinx.
收起
为你推荐: