在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点B的坐标为
在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰...
在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点.(1)求直线BC及抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标.
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(1)∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C,
∴C(0,3),
设直线BC的解析式为y=kx+3,
∵B(3,0)在直线BC上,
∴3k+3=0,
解得:k=-1,
∴直线BC的解析式为y=-x+3,
∵抛物线y=x2+bx+c过点B、C,
∴
解得:
,
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3;
(2)由y=x2-4x+3.
可得D(2,-1),A(1,0),
∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2,
∴△OBC是等腰直角三角形,
∴∠OBC=45°,CB=3
,
如图,设抛物线对称轴与x轴交于点F,
∴AF=
AB=1,
过点A作AE⊥BC于点E,
则有∠AEB=90°,
∴BE=AE=
,CE=2
,
在△AEC与△AFP中,
∵∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,
∴△AEC∽△AFP,
∴
=
,
=
,
解得:PF=2,
∵点P在抛物线的对称轴上,
∴点P的坐标为(2,2)或(2,-2).
∴C(0,3),
设直线BC的解析式为y=kx+3,
∵B(3,0)在直线BC上,
∴3k+3=0,
解得:k=-1,
∴直线BC的解析式为y=-x+3,
∵抛物线y=x2+bx+c过点B、C,
∴
|
解得:
|
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3;
(2)由y=x2-4x+3.
可得D(2,-1),A(1,0),
∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2,
∴△OBC是等腰直角三角形,
∴∠OBC=45°,CB=3
2 |
如图,设抛物线对称轴与x轴交于点F,
∴AF=
1 |
2 |
过点A作AE⊥BC于点E,
则有∠AEB=90°,
∴BE=AE=
2 |
2 |
在△AEC与△AFP中,
∵∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,
∴△AEC∽△AFP,
∴
AE |
AF |
CE |
PF |
| ||
1 |
2
| ||
PF |
解得:PF=2,
∵点P在抛物线的对称轴上,
∴点P的坐标为(2,2)或(2,-2).
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