Question

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点（A点在原点左侧，B点在原点右侧），与y轴交于C点．若AB=

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点（A点在原点左侧，B点在原点右侧），与y轴交于C点．若AB=4，OB＞OA，且OA、OB是方程x2+kx+3=0的两根．（1）请求出A，B两点的坐标；（2）若点O到BC的距离为322，求此二次函数的解析式；（3）若点P的横坐标为2，且△PAB的外心为M（1，1），试判断点P是否在（2）中所求的二次函数图象上．

Answer 1

（1）由题意可知OA+OB=-K，OA?OB=3，
∵AB=4，即OA+OB=-K=4，k=-4，
故方程x²+kx+3=0可化为x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
即OA=1，OB=3，
∵AB=4，OB＞OA，A点在原点左侧，B点在原点右侧，
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）设C（0，c），
如图：根据三角形的面积公式可知

1

2

BC?OD=

1

2

OB?OC，
即

32+c2

?

3 2

2

=3c，
解得c=±3，
故C（0，3）或（0，-3），
设过A、B、C三点的函数解析式为y=ax²+bx+c，
当c＞0时，

a?b+c＝0 9a+3b+c＝0 c＝3

，
解得

a＝?1 b＝2 c＝3

，
故二次函数的解析式为y=-x²+3x+3，
同理当c=-3时，二次函数的解析式为y=-x²+2x-3，
故过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=-x²+2x+3或y=-x²+2x-3；

（3）设P点坐标为（2，x），由外心的定义可知AE=PE，
即

(?1?1)2+12

=

(2?1)2+(y?1)2

，
解得y=3，或y=1，
把x=2分别代入二次函数的解析式y=-x²+2x+3和y=-x²+2x-3，
解得y=±3，
故P不在（2）中所求的二次函数图象上．