Question

已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga^(x-1),g(x)=log 1/a ^(3-x) 若h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的值域

已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x-1),g(x)=log1/a(3-x) 若h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的值域

Answer 1

要使函数有意义必须：
{x-1>0
{3-x>0
===>
{x>1
{x<3
D=(1,3)
g(x)=log(a^-1)(3-x)= - loga(3-x)
h(x)=loga(x-1)+loga(3-x)=loga(x-1)(3-x)
=loga(-x^2+4x-3)
令t= - x^2+4x-3
抛物线t(x)开口向下，最大值为：
t(max)=t(2)= -4+8-3=1
0<t≤1
h(x)可化为；
y=loga(t)
(1)
当a>1时，loga(t)是增函数，
y≤loga(1)=0
所以原函数的值域为；(-∞ , 0]
(2)
当0<a<1时，loga(t)是减函数，
y≥loga(1)=0
所以原函数的值域为：
[0,+∞)