Question

如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合） ，连接AD，作BE⊥AD，

如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合） ，连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．（1）求证：BF=FD；（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG= 1 4 DA，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：在Rt△AEB中， ∵AC=BC， ∴CE= 1 2 AB， ∴CB=CE， ∴∠CEB=∠CBE． ∵∠CEF=∠CBF=90°， ∴∠BEF=∠EBF， ∴EF=BF． ∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°， ∴∠FED=∠EDF． ∴BF=FD； （2）由（1）BF=FD，而BC=CA， ∴CF ∥ AD，即AE ∥ CF． 若AC ∥ EF，则AC=EF， ∴BC=BF．∴BA=BD，∠A=45°． ∴0°＜∠A＜90°且∠A≠45°时，四边形ACFE为梯形； （3）作GH⊥BD，垂足为H，则GH ∥ AB． ∵DG= 1 4 DA， ∴DH= 1 4 DB． 又F为BD中点， ∴H为DF的中点． ∴GH为DF的中垂线． ∴∠GDF=∠GFD． ∵点G在ED上， ∴∠EFD≥∠GFD． ∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°， ∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度． ∴3∠EDF≤180度． ∴∠EDF≤60度． 又∠A+∠EDF=90°， ∴30°≤∠A＜90°． ∴当30°≤∠A＜90°时， DE上存在点G，满足条件DG= 1 4 DA．