Question

已知二次函数y=x 2 -2mx+m 2 -1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

已知二次函数y=x 2 -2mx+m 2 -1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）， ∴代入二次函数y=x 2 -2mx+m 2 -1，得出：m 2 -1=0， 解得：m=±1， ∴二次函数的解析式为：y=x 2 -2x或y=x 2 +2x； （2）∵m=2， ∴二次函数y=x 2 -2mx+m 2 -1得：y=x 2 -4x+3=（x-2） 2 -1， ∴抛物线的顶点为：D（2，-1）， 当x=0时，y=3， ∴C点坐标为：（0，3）； （3）当P、C、D共线时PC+PD最短， 过点D作DE⊥y轴于点E， ∵PO ∥ DE， ∴ PO DE = CO CE ， ∴ PO 2 = 3 4 ， 解得：PO= 3 2 ， ∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（ 3 2 ，0）．