(2014?宜昌)已知:如图,四边形ABCD为平行四边形,以CD为直径作⊙O,⊙O与边BC相交于点F,⊙O的切线DE
(2014?宜昌)已知:如图,四边形ABCD为平行四边形,以CD为直径作⊙O,⊙O与边BC相交于点F,⊙O的切线DE与边AB相交于点E,且AE=3EB.(1)求证:△AD...
(2014?宜昌)已知:如图,四边形ABCD为平行四边形,以CD为直径作⊙O,⊙O与边BC相交于点F,⊙O的切线DE与边AB相交于点E,且AE=3EB.(1)求证:△ADE∽△CDF;(2)当CF:FB=1:2时,求⊙O与?ABCD的面积之比.
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(1)证明:∵CD是⊙O的直径,
∴∠DFC=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AD∥BC,AB∥CD,
∴∠ADF=∠DFC=90°,
∵DE为⊙O的切线,
∴DE⊥DC,
∴DE⊥AB,
∴∠DEA=∠DFC=90°,
∵∠A=∠C,
∴△ADE∽△CDF;
(2)解:∵CF:FB=1:2,
∴设CF=x,FB=2x,则BC=3x,
∵AE=3EB,
∴设EB=y,则AE=3y,AB=4y,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=3x,AB=DC=4y,
∵△ADE∽△CDF,
∴
=
,
∴
=
,
∵x、y均为正数,
∴x=2y,
∴BC=6y,CF=2y,
在Rt△DFC中,∠DFC=90°,
由勾股定理得:DF=
=
=2
y,
∴⊙O的面积为π?(
DC)2=
π?DC2=
π(4y)2=4πy2,
四边形ABCD的面积为BC?DF=6y?2
y=12
y2,
∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2:12
∴∠DFC=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AD∥BC,AB∥CD,
∴∠ADF=∠DFC=90°,
∵DE为⊙O的切线,
∴DE⊥DC,
∴DE⊥AB,
∴∠DEA=∠DFC=90°,
∵∠A=∠C,
∴△ADE∽△CDF;
(2)解:∵CF:FB=1:2,
∴设CF=x,FB=2x,则BC=3x,
∵AE=3EB,
∴设EB=y,则AE=3y,AB=4y,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=3x,AB=DC=4y,
∵△ADE∽△CDF,
∴
AE |
AD |
CF |
CD |
∴
3y |
3x |
x |
4y |
∵x、y均为正数,
∴x=2y,
∴BC=6y,CF=2y,
在Rt△DFC中,∠DFC=90°,
由勾股定理得:DF=
DC2?FC2 |
(4y)2?(2y)2 |
3 |
∴⊙O的面积为π?(
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
四边形ABCD的面积为BC?DF=6y?2
3 |
3 |
∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2:12
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