Question

已知函数f（x）=x 3 -ax 2 -3x．（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f

已知函数f（x）=x 3 -ax 2 -3x．（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）∵f（x）=x 3 -ax 2 -3x， ∴f′（x）=3x 2 -2ax-3， ∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，? ∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，? 即3x 2 -2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立． 则必有 a 3 ≤1且f′（1）=-2a≥0， ∴a≤0，即实数a的取值范围是（-∞，0]； （2）∵x=3是f（x）的极值点， ∴f′（3）=3×3 2 -2a×3-3=0，解得a=4， ∴f′（x）=3x 2 -8x-3， 令f′（x）=3x 2 -8x-3=（x-3）（3x+1）＞0，解得x＜- 1 3 或x＞3， 令f′（x）=3x 2 -8x-3=（x-3）（3x+1）＜0，解得- 1 3 ＜x＜3， ∴f（x）的单调区间增区间为（-∞，- 1 3 ）和（3，+∞），单调递减区间为（- 1 3 ，3）．