Question

在抛物线y 2 =-4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（-2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是______

在抛物线y 2 =-4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（-2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是______．

Answer 1

由抛物线方程为y 2 =-4x，可得2p=4， p 2 =1， ∴焦点坐标为F（-1，0），准线方程为x=1． 设点P在准线上的射影为Q，连结PQ， 则根据抛物线的定义得|PF|=|PQ|， 由平面几何知识，可知当A、P、Q三点共线时， |PQ|+|PA|达到最小值，此时|PF|+|PA|也达到最小值． ∴|PF|+|PA|最小蝗，点P的纵坐标为1， 将P（x，1）代入抛物线方程，得1 2 =-4x，解得x=- 1 4 ， ∴使P到A、F距离之和最小的点P坐标为（- 1 4 ，1）． 故答案为：（- 1 4 ，1）