Question

如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接

如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．

Answer 1

证明：（1）∵BE、CF都是△ABC的高，
∴∠AFC=∠AFQ=∠AEB=90°．
∴∠BAC+∠ABE=90°，∠BAC+∠ACF=90°，
∴∠ABE=∠ACF．
在△ABP和△QCA中

AB＝QC ∠ABE＝∠ACF BP＝CA

，
∴△ABP≌△QCA（ASA），
∴AP=QA；
（2）∵△ABP≌△QCA，
∴∠BAP=∠CQA．
∵∠CQA+∠FAQ=90°，
∴∠BAP+∠FAQ=90°，
即∠PAQ=90°，
∴AP⊥AQ．