Question

过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点B平行于抛物线对称轴的直线交抛物线的准线于点D，求证：

过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点B平行于抛物线对称轴的直线交抛物线的准线于点D，求证：三点A、O、D共线．

Answer 1

以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系，
则可设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
当直线AB的斜率存在时，设AB的斜率为k（k≠0），
由题意直线AB的方程为y＝k(x?

p

2

)，
把y＝k(x?

p

2

)代入抛物线的方程得y2?

2p

k

y?p2＝0，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y2＝?

p2

y1

(y1≠0)，D(?

p

2

，?

p2

y1

)，
故可得k_OA=

y1

x1

=

y1

y12 2p

=

2p

y1

，而k_OD=

? p2 y1

? p 2

=

2p

y1

=k_OA，故三点A、O、D共线，
当直线无斜率时，A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），故D(?

p

2

，?p)，
同样可得k_OA=

p

p 2

=2，而k_OD=

?p

? p 2

=2=k_OA，仍有三点A、O、D共线，
综上可得三点A、O、D共线．