Question

如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A，（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，cosC=4

如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A，（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，cosC=45，BC=5，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠A=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠DBA=90°，
∴BC为⊙O切线；

（2）解：由（1）得△OBC为直角三角形，
又∵cosC=

4

5

，BC=5，
∴在Rt△OBC中，cosC=

BC

CO

，
∴CO=

BC

cosC

=

5

4 5

=

25

4

，
∴OB=

( 25 4 )2?52

=

15

4

，
∴AB=

15

2

．
∵OC∥AD，
∴∠BOC=∠A，
∠CBO=∠ADB=90°，
∴△OBC∽△ADB，
∴

AD

BO

=

AB

CO

，
∴AD=

AB?BO

CO

=

15 2 × 15 4

25 4

=

9

2

．