Question

已知函数f（x）=（ax-2）ex在x=1处取得极值．（1）求a的值；（2）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值

已知函数f（x）=（ax-2）ex在x=1处取得极值．（1）求a的值；（2）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值．

Answer 1

（1）f′（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x
由已知得f'（1）=0即（2a-2）e^x=0解得：a=1
当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x-2）e^x取得极小值，所以a=1．（4分）
（2）由f（x）=（x-2）e^x，
得f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．
由f′（x）=0，得x=1，
列表讨论：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减		增

所以函数f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增；
当m≥1时，f（x）在[m，m+1]单调递增，f_min（x）=f（m）=（m-2）e^m，
当0＜m＜1时，m＜1＜m+1f（x）在[m，1]单调递减，
在[1，m+1]单调递增，f_min（x）=f（1）=-e．
当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，
fmin(x)＝f(m+1)＝(m?1)em+1．
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值：
fmin(x)＝

(m?2)em， m≥1 ?e， 0＜m＜1 (m?1)em+1， m≤0

．（4分）