Question

如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0）．另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．

如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0）．另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一个动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P在x轴上一点，以C、B、P为顶点的三角形与△CMN相似，求点P的坐标．

Answer 1

（1）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

5k+b＝0 b＝5

，
解得

k＝?1 b＝5

，
所以，直线BC的解析式为y=-x+5，
∵抛物线y=x²+bx+c经过点B（5，0），C（0，5），
∴

25+5b+c＝0 c＝5

，
解得

b＝?6 c＝5

，
∴抛物线解析式为y=x²-6x+5；

（2）设M（m，m²-6m+5），则MN=（-m+5）-（m²-6m+5），
=-m²+5m，
=-（m-

5

2

）²+

25

4

，
∴当m=

5

2

时，MN的最大值=

25

4

；

（3）∵∠CNM+∠CMN=∠CBA=45°，
∴∠CNM=∠CBP，
由勾股定理得，BC=

52+52

=5

2

，
由（2）得CN=

1

2

BC=

5 2

2

，
①BP和CN是对应边时，△BPC∽△NCM，
∴

BP

CN

=

BC

MN

，
即

BP

5 2 2

=

5 2

25 4

，
解得BP=4，
∴OP=OB+BP=5+4=9，
点P₁（9，0），
②BP和MN是对应边时，△BPC∽△NMC，
∴

BP

MN

=

BC

CN

，
即

BP

25 4

=

5 2

5 2 2

，
解得BP=

25

2

，
∴OP=OB+BP=5+

25

2

=

35

2

，
点P₂（

35

2

，0），
综上所述，P₁（9，0），P₂（

35

2

，0）．