Question

已知公差不为0的等差数列{an}，首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列，（1）求等差数列{an}的通项公式an；（

已知公差不为0的等差数列{an}，首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列，（1）求等差数列{an}的通项公式an；（2）若从数列{an}中抽出部分项：a1，a2，a4，…，a 2n?1，…构成一个新的数列{a 2n?1}，n∈N*，证明：数列{a 2n?1}，n∈N*为等比数列；（3）求和：a1+a2+a4+…+a 2n?1（n∈N*）．

Answer 1

解答：（1）解：设公差为d，则d≠0，
又a₁，a₂，a₄成等比数列，则有a22＝a1a4，又首项a₁=1，
∴（1+d）²=1×（1+3d）
化简得：d²-d=0，又d≠0，解得：d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，即：a_n=n．
（2）证明：由（1）可知：a_n=n，∴a2n?1＝2n?1(n∈N*)，
∴

a2n?1

a2n?2

＝

2n?1

2n?2

＝2
∴数列{a2n?1}，n∈N*为等比数列．
（3）解：由（2）可知：数列{a2n?1}，n∈N*为等比数列，
∴a1+a2+a4+…+a2n?1＝1+2+4+…+2n?1＝

1×(1?2n)

1?2

＝2n?1
即：a1+a2+a4+…+a2n?1＝2n?1．