Question

已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使f（x）

已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞2(xex?2e)成立．

Answer 1

（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，解得x＝

1

e

．
当x∈(0，

1

e

)时，f′（x）＜0，此时函数单调递减；当x∈(

1

e

，+∞)时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．
故当x=

1

e

时，函数f（x）取得极小值即最小值为?

2

e

．
（II）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立．
?a≥2lnx+x+

3

x

存在x∈（0，+∞）能成立，?a≥(2lnx+x+

3

x

)min．
令h(x)＝2lnx+x+

3

x

，则h′(x)＝

2

x

+1?

3

x2

=

(x+3)(x?1)

x2

．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增．
∴当x=1时，h（x）取得最小值4．因此a≥4．
（III）令u(x)＝2(

x

ex

?

2

e

)，则u′（x）=

2(1?x)

ex

．
令u′（x）=0，解得x=1；当x∈（0，1）时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，u′（x）＜0，函数u（x）单调递减．
∴当x=1时，函数u（x）取得最大值?

2

e

．
故对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞2(

x

ex

?

2

e

)成立．