Question

如图所示，一个34圆弧形光滑圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，地面

如图所示，一个34圆弧形光滑圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力，小球的半径远小于R．（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，求小球经过圆管的最高点C点时对圆管的作用力的大小和方向；（2）欲使小球能通过圆管最高点C点后落到垫子上，求小球的释放点离A点的高度H满足的条件．

Answer 1

（1）小球离开C点做平抛运动，
  竖直方向：R=

1

2

gt²
  水平方向：R=v₁t  
联立解得，v₁=

1 2 gR

               
设小球以v₁经过C点受到管对它的竖直向上的作用力为F_N，有：
   mg-F_N=m

v 2 1

R

解得：F_N=mg-m

v 2 1

R

=

mg

2

            
由牛顿第三定律可知，小球对管作用力的大小为

1

2

mg，方向竖直向下．
（2）小球由静止释放的高度最大时，小球运动的水平位移为4R，打到N点．设能够落到N点的水平速度为v₂，有：
  v₂=

4R

t

=

8gR

                  
设小球离A点的最大高度为H₂，根据机械能守恒定律可知：
  mg（H₂-R）=

1

2

mv

2 2

              
解得：H₂=

v 2 2

2g

+R=5R             
同理：设小球离A点的最小高度为H₁，有
  mg（H₁-R）=

1

2

mv₁²
解得：H₁=

5

4

R                  
因此小球的释放点离A点的高度H满足的条件：

5

4

R≤H≤5R．
答：
（1）小球经过圆管的最高点C点时对圆管的作用力的大小为

1

2

mg，方向竖直向下．
（2）欲使小球能通过圆管最高点C点后落到垫子上，小球的释放点离A点的高度H满足的条件是：

5

4

R≤H≤5R．