Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若OP?OQ＝0，求直线PQ的方程．

Answer 1

解答：（1）解：由题意，可设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

2

＝1(a＞

2

)
由已知得

a2?c2＝2 c＝2( a2 c ?c)

解得a＝

6

，c=2
所以椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

＝1，离心率e＝

6

3

（2）解：由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x-3），由方程组

x2 6 + y2 2 ＝1 y＝k(x?3)

得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0
依题意△=12（2-3k²）＞0，得?

6

3

＜k＜

6

3

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则x1+x2＝

18k2

3k2+1

①x1x2＝

27k2?6

3k2+1

②
由直线PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）
于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]③
∵

OP

?

OQ

＝0∴x₁x₂+y₁y₂=0④
由①②③④得5k²=1，从而k＝±

5

5

∈(?

6

3

 ， 

6

3

)
所以直线PQ的方程为x?

5

y?3＝0或x+

5

y?3＝0