Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α≤180°）得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．（1）四边形OABC的形状是______，当α=90°时，BPBQ的值是4747；（2）①如图1，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求PQ的长；②如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求PQ的长．（3）小明在旋转中发现，当点P位于点B的右侧时，总存在线段PQ与线段______相等；同时存在着特殊情况BP=12BQ，此时点P的坐标是（-74，6）（-74，6）．

Answer 1

解答：解：（1）∵O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），
∴OA=BC=8，OC=AB=6，∠AOA′=90°，
∴四边形OABC的形状是矩形；
当α=90°时，P与C重合，如右图，
根据题意，得

BP

PQ

=

8

6

=

4

3

，
则

BP

BQ

=

4

7

；

（2）①如图1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，
∴△COP∽△A'OB'，
∴

CP

A′B′

＝

OC

OA′

，即

CP

6

＝

6

8

，
∴CP=

9

2

． 
同理△B'CQ∽△B'C'O，

CQ

OC′

＝

B′C

B′C′

，即

CQ

6

＝

10?6

8

，
∴CQ=3，
PQ=CP+CQ=

15

2

；

②如图2，∵在△OCP和△B'A'P中，

∠OPC＝∠B′PA′ ∠OCP＝∠A′＝90° OC＝B′A′

，
∴△OCP≌△B'A'P（AAS），
∴OP=B'P，即OP=PQ，
设PQ=x．
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=

25

4

．
故所求PQ的长为

25

4

；
                                     
（3）当点P位于点B的右侧时，总存在线段PQ与线段OP相等；同时存在着特殊情况BP=

1

2

BQ，此时点P的坐标是P（-

7

4

，6）．理由如下：
如备用图，过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=

1

2

PQ?OC，S_△POQ=

1

2

OP?QH，
∴PQ=OP．
设BP=x，
∵BP=

1

2

BQ，
∴BQ=2x，
∵点P在点B右侧，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=

25

4

．
∴PC=BC-BP=8-

25

4

=

7

4

，
∴P（-

7

4

，6）．
故答案为：矩形，

4

7

；OP，P（-

7

4

，6）．