已知函数f(x)=ax+lnx,函数g(x)=ex,其中e为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若?x
已知函数f(x)=ax+lnx,函数g(x)=ex,其中e为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若?x∈(0,+∞),使得不等式g(x)<x?m+3x成立,...
已知函数f(x)=ax+lnx,函数g(x)=ex,其中e为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若?x∈(0,+∞),使得不等式g(x)<x?m+3x成立,试求实数m的取值范围;(Ⅲ)当a=0时,对于?x∈(0,+∞),求证:f(x)<g(x)-2.
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(Ⅰ) 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a+
(x>0).
①当a≥0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
②当a<0时,若x∈(0,?
),f'(x)>0,∴f(x)在x∈(0,?
)上为增函数;
若x∈(?
,+∞),f'(x)<0,∴f(x)在x∈(?
,+∞)上为减函数.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上为增函数.
当a<0时,f(x)在(0,?
)上为增函数,在(?
,+∞)上为减函数.
(Ⅱ)∵?x∈(0,+∞),使得不等式g(x)<
成立,∴?x∈(0,+∞),使得m<x?ex
+3成立,
令h(x)=x?ex
+3,则h′(x)=1?ex(
+
),
当x∈(0,+∞)时,∵ex>1,
+
≥2
=
,
∴ex(
+
)>1,∴h'(x)<0,从而h(x)在(0,+∞)上为减函数,∴h(x)<h(0)=3∴m<3.
(Ⅲ)当a=0时,f(x)=lnx,令φ(x)=g(x)-f(x)-2,则φ(x)=ex-lnx-2,
∴φ′(x)=ex?
,且φ'(x)在(0,+∞)上为增函数.
设φ'(x)=0的根为x=t,则et=
,即t=e-t.
∵当x∈(0,t)时,φ'(x)<0,φ(x)在(0,t)上为减函数;当x∈(t,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)在(t,+∞)上为增函数,
∴φ(x)min=φ(t)=et?lnt?2=et?lne?t?2=et+t?2∵φ'(1)=e-1>0,φ′(
)=
?2<0,∴t∈(
,1),
由于φ(t)=et+t-2在t∈(
,1)上为增函数,∴φ(x)min=φ(t)=et+t?2>e
+
?2>
+
?2=0,
∴f(x)<g(x)-2.
1 |
x |
①当a≥0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
②当a<0时,若x∈(0,?
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a |
1 |
a |
若x∈(?
1 |
a |
1 |
a |
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上为增函数.
当a<0时,f(x)在(0,?
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a |
1 |
a |
(Ⅱ)∵?x∈(0,+∞),使得不等式g(x)<
x?m+3 | ||
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x |
令h(x)=x?ex
x |
x |
1 | ||
2
|
当x∈(0,+∞)时,∵ex>1,
x |
1 | ||
2
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2 |
∴ex(
x |
1 | ||
2
|
(Ⅲ)当a=0时,f(x)=lnx,令φ(x)=g(x)-f(x)-2,则φ(x)=ex-lnx-2,
∴φ′(x)=ex?
1 |
x |
设φ'(x)=0的根为x=t,则et=
1 |
t |
∵当x∈(0,t)时,φ'(x)<0,φ(x)在(0,t)上为减函数;当x∈(t,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)在(t,+∞)上为增函数,
∴φ(x)min=φ(t)=et?lnt?2=et?lne?t?2=et+t?2∵φ'(1)=e-1>0,φ′(
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e |
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由于φ(t)=et+t-2在t∈(
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1 |
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2.25 |
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2 |
∴f(x)<g(x)-2.
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