Question

用反证法证明．若a、b、c均为实数，且a=x 2 -2y+ π 2 ，b=y 2 -2z+ π 3 ，c=z 2

用反证法证明．若a、b、c均为实数，且a=x 2 -2y+ π 2 ，b=y 2 -2z+ π 3 ，c=z 2 -2x+ π 6 ，求证：a、b、c中至少有一个大于0．

Answer 1

证明：设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0， ∴a+b+c≤0， 而a+b+c=（x 2 -2y+ π 2 ）+（y 2 -2z+ π 3 ）+（z 2 -2x+ π 6 ） =（x 2 -2x）+（y 2 -2y）+（z 2 -2z）+π=（x-1） 2 +（y-1） 2 +（z-1） 2 +π-3， ∴a+b+c＞0， 这与a+b+c≤0矛盾， 故假设是错误的， 故a、b、c中至少有一个大于0