Question

已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A、B两点，抛物线的准线与x轴交于点C，

已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A、B两点，抛物线的准线与x轴交于点C， （1）证明：∠ACF=∠BCF； （2）求∠ACB的最大值，并求∠ACB取得最大值时线段AB的长。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设知，F ，C ， 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 直线l方程为x＝my＋ ， 代入抛物线方程y 2 ＝2px，得y 2 －2pmy－p 2 ＝0， y 1 ＋y 2 ＝2pm，y 1 y 2 ＝－p 2 ， 不妨设y 1 ＞0，y 2 ＜0， 则 ， ， ∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF。 （Ⅱ）如（Ⅰ）所设y 1 ＞0，tan∠ACF＝ ＝1， 当且仅当y 1 ＝p时取等号， 此时∠ACF取最大值 ，∠ACB＝2∠ACF取最大值 ， 并且A（ ，p），B（ ，－p），|AB|＝2p。