Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx和双曲线y＝k′x在第一象限相交于点A（1，2），点B在y轴上，且AB⊥y

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx和双曲线y＝k′x在第一象限相交于点A（1，2），点B在y轴上，且AB⊥y轴．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒（t＞0），过点P作PD⊥y轴，交直线OA于点C，交双曲线于点D．（1）求直线y=kx和双曲线y＝k′x的函数关系式；（2）设四边形CDAB的面积为S，当P在线段OB上运动时（P不与B点重合），求S与t之间的函数关系式；（3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点Q，使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时t的值和Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把A（1，2）代入y=kx和y＝

k′

x

，得
K=2，k?=2
∴直线y=kx的函数关系式是y=2x
双曲线y＝

k′

x

的函数关系式是y＝

2

x

，
（2）∵AB=1，OB=2，OP=t
∴PC=

t

2

，PD=

2

t

，BP=2-t
∴当CD在AB下方时，CD=PD-PC=

2

t

-

t

2

．
∴S=

1

2

(1+

2

t

?

t

2

)(2?t)
=

t3?4t2+8

4t

（0＜t＜2），
（注：自变量t的取值范围没有写出的不扣分，函数化简结果可以用不同
的形式表示，只要结果正确的均不扣分，如：S＝

t2

4

?t+

2

t

等）
（3）存在3种情形，具体如下：
①当AB=∥CD，且CD在AB下方时（图2）
CD=PD-PC=

2

t

-

t

2

=1，
解得  t₁=

5

-1，t₂=-

5

-1（舍去）
∴PD=

2

t

＝

2

5 ?1

＝

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