Question

椭圆方程x^2 +y^2 /9=1若一条不与坐标轴平行的直线l与椭

椭圆方程x^2 +y^2 /9=1
若一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M,N 且线段MN的中点的横坐标为-1/2,求直线l的倾斜角的取值范围

Answer 1

您好：

解：
直线l不与坐标轴平行,设为y=kx+b（k≠0），M(x1,y1),N(x2,y2)
联立方程：y=kx+b，x^2 +y^2 /9=1
则(9+k^2)x^2+2kbx+b^2-9=0
△=(2kb)^2-4(9+k^2)(b^2-9)>0，k^2-b^2+9>0
x1+x2=-2kb/(9+k^2), x1x2=(b^2-9)/(9+k^2)
MN的中点的横坐标=(x1+x2)/2=-1/2
所以x1+x2=-1
所以9+k^2=2kb>b^2
(k-b)^2=b^2-9≥0,b^2≥9
b≥3或b≤-3
b(b-2k)<0
所以b≥3>0时，b-2k<0,k>b/2≥3/2
b≤-3<0时，b-2k>0,k<b/2≤-3/2
所以k的取值范围为(-∞,-3/2)∪(3/2,+∞)
直线l的倾斜角的取值范围为(arctan(3/2),π/2)∪(π/2,π-arctan(3/2))

谢谢
加分吧