Question

在△ABC 中，∠A＝45°，AB＝7，AC＝4 2 ，点 D、E、F 分别为 BC、AB、AC 上的动点，求△DEF 的最小周长。

Answer 1

1. 取一点D 连接AD延至点O （在BC下面取一点O ）  OB OC相连接 并延长 在OB 和CO延长线上取一点 G H 使 GB=BD CH=CD   连接GH 可在AB AC上得EF两点，可证此时ED=EG FD=FH 则三角形DEF的周长等于GH 可得GH最短为AD垂直与BC时 ，   既BC为三角形GHO的中位线 所以GH等于2BC    

2. 然后算BC  做线CL垂直与AB 因为角A等于45度 角ALC等于90度 AC等于4倍根号2所以CL=AL=4 所以LB=7-4=3  又因为CL等于4 所以BC等于5 所以最小值为10  

3. 不懂继续追问
   

Answer 2

由余弦定理可得出BC＝5，三条边中AB最长，它上面的高就是最短的一条高，让CE成为AB上的高，则CE＝4，让D，F两点无限趋近C点，则DF无限趋近于0，而DE，FE则分别无限趋近于4，三角形DEF的周长就是8，这就是最小的周长。

即在AC上截取AE=AN，连接BE．
因为∠BAC的平分线交BC于点D，
所以∠EAM=∠NAM，
又因为AM=BM，
所以△AME≌△AMN，
所以ME=MN．
所以BM+MN=BM+ME≥BE．
因为BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，
BE取最小值为4，
所以BM+MN的最小值是4

Answer 3

在AC上截取AE=AN，连接BE．
因为∠BAC的平分线交BC于点D，
所以∠EAM=∠NAM，
又因为AM=BM，
所以△AME≌△AMN，
所以ME=MN．
所以BM+MN=BM+ME≥BE．
因为BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，
BE取最小值为4，
所以BM+MN的最小值是4