Question

如图,在三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,AD的垂直平分线EF交CD的延长线于点F,交AD于E,交AC于点M

如图,在三角形ABC中,AD是角BAC的平分线,AD的垂直平分线EF交CD的延长线于点F,交AD于E,交AC于点M.(1)三角形ACF与三角形BAF相似吗?请说明理由(2)如果AF=6,BD=2,AC=4,求DC和AM的长

Answer 1

1、证明：
∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF.
∵∠ABF=∠ADF+∠BAD，∠CAF=∠DAF+∠CAD，
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.
∴∠ABF=∠CAF．∴△ACF与△BAF相似

2、求解：
∵AF=DF=6 且FB=FD-BD ∴FB=4
又∵△ACF与△BAF相似，∴AF/FC=FB/AF=AB/AC=2/3
解得FC=9，AB=8/3 ∴DC=FC-FD=3 ------------------------------
设AD长为X ∠BAD=∠CAD=y，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得
△ABD中，BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosy 即4=64/9+x^2-16/3 *x*cosy
△ACD中，DC^2=AC^2+AD^2-2*AC*AD*cosy 即9= 16+x^2-8 *x*cosy
得方程组28/3+x^2-16/3 *x*cosy=0
7+x^2-8 *x*cosy=0
解得：x^2=14/3，x*cosy= (7+x^2)/8=35/24
又∵RT△AEM中，AE=AD/2 cosy=AE/AM
所以AM=AE/cosy=x/2cosy=x^2/2x*cosy=8/5 -------------------------------