Question

已知二次函数 y=- 1 4 x 2 + 3 2 x 的图象如图所示． （1）求它的对称轴与x轴交

已知二次函数 y=- 1 4 x 2 + 3 2 x 的图象如图所示． （1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移k个单位，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．（4）在（2）的条件下，平行于x轴的直线x=t（0＜t＜k）分别交AC、BC于E、F两点，试问在x轴上是否存在点P，使得△PEF是等腰直角三角形？若存在，请直接写P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=- 1 4 x 2 + 3 2 x=- 1 4 （x-3） 2 + 9 4 ， 顶点坐标为（3， 9 4 ）， 所以点D坐标为（3，0）； （2）抛物线沿它的对称轴向上平移k个单位得到的函数解析式为 y=- 1 4 x 2 + 3 2 x+k 令y=0，即- 1 4 x 2 + 3 2 x+k=0， 解得x 1 =3- 9+4k ，x 2 =3+ 9+4k ， 即A（3- 9+4k ，0）、B（3+ 9+4k ，0），C（0，k）； 在Rt△AOC中 AC 2 =OA 2 +OC 2 =（ 9+4k -3） 2 +k 2 ； BC 2 =OB 2 +OC 2 =（ 9+4k +3） 2 +k 2 ； AB 2 =（2 9+4k ） 2 =AC 2 +BC 2 =（ 9+4k -3） 2 +k 2 +（ 9+4k +3） 2 +k 2 ； 整理得k（k-4）=0 k=0（不合题意），k=4； ∴抛物线的解析式y=- 1 4 x 2 + 3 2 x+4； （3）由抛物线的解析式y=- 1 4 x 2 + 3 2 x+4； 得出M（3， 25 4 ），A（-2，0），B（8，0），C（0，4） 如图， 连接MC、CD，根据勾股定理 求得MC= 15 4 ，DC=5，MD= 25 4 ， ∵MC2+CD2=MD2 由勾股定理逆定理△CMD为直角三角形，且DC⊥CM， 又∵DC=DA=DB， ∴直线CM与⊙D相切； （4）存在. P 1 (- 4 7 ，0)， P 2 ( 4 3 ，0)， P 3 ( 16 7 ，0) ．