Question

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= _________ 度； （2）设∠BAC=α，∠BCE=β． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

Answer 1

解：（1）90°． 理由： ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE=∠B+∠ACB， 又∵∠BAC=90° ∴∠BCE=90°； （2）①α+β=180°， 理由： ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB． ∴∠B+∠ACB=β， ∴α+∠B+∠ACB=180°， ∴α+β=180°； ②当点D在射线BC上时，α+β=180°； 理由： ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE， ∵∠BAC+∠B+∠BCA=180°， ∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°， ∴ α+β=180°； 当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β 理由：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， ∵AD=AE，AB=AC， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE， 即α=β．