Question

已知数列{a n }满足：a 1 =1；a n+1 -a n =1，n∈N * ，数列{b n }的前n项和为S n ，且S n +b n =2，n∈N

已知数列{a n }满足：a 1 =1；a n+1 -a n =1，n∈N * ，数列{b n }的前n项和为S n ，且S n +b n =2，n∈N * ．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）数列{c n }满足 c n = 1 ( a n +1)( a n+1 +1) ，求数列{c n }的前n项和T n ．

Answer 1

（1）由已知得数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为1． ∴数列{a n }的通项公式为a n =n…2分 ∵S n +b n =2， ∴S n+1 +b n+1 =2， 两洞碰式相减得S n+1 -S n +b n+1 -b n =0， 即2b n+1 -b n =0， 化简得 b n+1 b n = 1 2 …4分 所以数列{b n }为等比数列，…5分 又S 1 +b 1 =2，穗返 ∴b 1 =1…6分 所以b n = 1 2 n-1  …7分 （2）由（1）可得 c n = 1 ( a n +1)( a n+1 +1) = 1 (n+1)(n+2) = 1 (n+1) - 1 (n+2) …10分 ∴猜颤饥T n =（ 1 2 - 1 3 ）+（ 1 3 - 1 4 ）+…+（ 1 (n+1) - 1 (n+2) ）= 1 2 - 1 (n+2) = n 2(n+2)  …12分．