Question

如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接CD、BE、DE（1）证明：△ADC

如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接CD、BE、DE（1）证明：△ADC≌△ABE；（2）试判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由；（3）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成，已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地______平方米．（不用写过程）

Answer 1

（1）证明：∵△ABD和△ACE都为等边三角形， ∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， AB=AD ∠DAC=∠BAE AC=AE ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）； （2）△ABC与△ADE面积相等． ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE， ∵∠BAD+∠CAD+∠BAC+∠DAE=360°， ∴∠BAC+∠DAE=180°， ∵∠DAE+∠EAN=180°， ∴∠BAC=∠EAN， 在△ACM和△AEN中， ∠MAC=∠NAE ∠AMC=∠ANE AC=AE ， ∴CM=EN， ∵S △ABC = 1 2 AB?CM，S △ADE = 1 2 AD?EN， ∴S △ABC =S △ADE ； （3）由（2）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和． ∴这条小路的面积为（a+2b）平方米， 故答案为：（a+2b）．