Question

如图，已知抛物线y 2 =4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）两

如图，已知抛物线y 2 =4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．（Ⅰ）求y 1 y 2 的值；（Ⅱ）记直线MN的斜率为k 1 ，直线AB的斜率为k 2 ．证明： k 1 k 2 为定值．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2． 将其代入y 2 =4x，消去x，整理得y 2 -4my-8=0． 从而y 1 y 2 =-8． （Ⅱ）证明：设M（x 3 ，y 3 ），N（x 4 ，y 4 ）． 则 k 1 k 2 = y 3 - y 4 x 3 - x 4 × x 1 - x 2 y 1 - y 2 = y 3 - y 4 y 3 2 4 - y 4 2 4 × y 1 2 4 - y 2 2 4 y 1 - y 2 = y 1 + y 2 y 3 + y 4 ． 设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y 2 =4x，消去x， 整理得y 2 -4ny-4=0． 所以y 1 y 3 =-4． 同理可得y 2 y 4 =-4． 故 k 1 k 2 = y 1 + y 2 y 3 + y 4 = y 1 + y 2 -4 y 1 + -4 y 2 = y 1 y 2 -4 ． 由（Ⅰ）得 k 1 k 2 =2，为定值．