Question

对于任意实数a（a≠0）和b及m∈[1，2]，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|?（m 2 -km+1）恒成立，则实数k的取值范围

对于任意实数a（a≠0）和b及m∈[1，2]，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|?（m 2 -km+1）恒成立，则实数k的取值范围为______．

Answer 1

由|a+b|+|a-b|≥|a|?（m 2 -km+1），（a≠0）得： |a+b|+|a-b| |a| ≥m 2 -km+1，则 左边= |a+b|+|a-b| |a| ≥ |a+b+a-b| |a| =2，设右边=g（m）=m 2 -km+1为对称轴为x= k 2 的开口向上的抛物线，由m∈[1，2]， 当 k 2 ≤1即k≤2时，得到g（2）=4-2k+1为g（m）的最大值，即4-2k+1≤2，解得k≥ 3 2 ，所以 3 2 ≤k≤2； 当 k 2 ≥2即k≥4时，g（1）=1-k+1为函数的最大值，即2-k≤2，得到k≥0，所以4≤k； 当1≤ k 2 ≤2即2≤k≤4时，g（1）或g（2）为函数的最大值， 3 2 ≤k或k≥0，所以2≤k≤4． 综上，k的取值范围为[ 3 2 ，+∞） 故答案为[ 3 2 ，+∞）