Question

已知函数f（x）=mlnx+ 1 x ，（其中m为常数）（1）试讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；

已知函数f（x）=mlnx+ 1 x ，（其中m为常数）（1）试讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）令函数h（x）=f（x）+ 1 m lnx -x．当m∈[2，+∞）时，曲线y=h（x）上总存在相异两点P（x 1 ，f（x 1 ））、Q（x 2 ，f（x 2 ）），使得过P、Q点处的切线互相平行，求x 1 +x 2 的取值范围．

Answer 1

（1）∵ f′(x)= m x - 1 x 2 = mx-1 x 2 （x＞0） ∴m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，+∞）上是减函数； m＞0时，f′（x）＞0可得 x＞ 1 m ，f′（x）＜0可得 x＜ 1 m ∴函数f（x）在（0， 1 m ）上是减函数，在（ 1 m ，+∞）上是增函数； （2）由题意，可得h′（x 1 ）=h′（x 2 ）（x 1 ，x 2 ＞0，且x 1 ≠x 2 ） 即 m+ 1 m x 1 - 1 x 1 2 -1 = m+ 1 m x 2 - 1 x 2 2 -1   ∴ x 1 + x 2 =(m+ 1 m ) x 1 x 2      ∵x 1 ≠x 2 ，由不等式性质可得 x 1 x 2 ＜( x 1 + x 2 2 ) 2 恒成立， 又x 1 ，x 2 ，m＞0 ∴ x 1 + x 2 ＜(m+ 1 m )( x 1 + x 2 2 ) 2 ∴ x 1 + x 2 ＞ 4 m+ 1 m 对m∈[2，+∞）恒成立 令g（m）=m+ 1 m （m≥2），则 g′(m)= (m+1)(m-1) m 2 ＞0 对m∈[2，+∞）恒成立 ∴g（m）在[2，+∞）上单调递增，∴ g(m)≥g(2)= 5 2               ∴ 4 m+ 1 m ≤ 4 g(2) = 8 5                                  ∴x 1 +x 2 的取值范围为（ 8 5 ，+∞ ）．