如图,已知直线a的解析式为y=3x+6,直线a与x轴.y轴分别相交于A.B两点,直线b经过B.C两点,点C的坐标为
如图,已知直线a的解析式为y=3x+6,直线a与x轴.y轴分别相交于A.B两点,直线b经过B.C两点,点C的坐标为(8,0).直线a沿x轴正方向平移m个单位(0<m<10...
如图,已知直线a的解析式为y=3x+6,直线a与x轴.y轴分别相交于A.B两点,直线b经过B.C两点,点C的坐标为(8,0).直线a沿x轴正方向平移m个单位(0<m<10)得到直线a′,直线a′与x轴.直线b分别相交于点M.N.(1)求sin∠BCA的值;(2)当△MCN的面积为152时,求直线a′的函数解析式;(3)将△MCN沿直线a′对折得到△MC′N,把△MC′N与四边形AMNB的重叠部分面积记为S,求S关于m的函数解析式,并求当S最大时四边形MCNC′的周长.
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(1)对于y=3x+6,可求B(0,6).(1分)
∴OB=6,
∵C(8,0),
∴OC=8.
∴BC=
=10.(1分)
∴sin∠BCA=
=
=
.(1分)
(2)由y=3x+6可求A(-2,0),
∴AC=BC=10.
∴S△ABC=
AC×OB=
×10×6=30.(1分)
∵a′∥a,
∴△MCN∽△ABC.(1分)
∴
=(
)2,
∵S△MCN=
,
∴
=
.(1分)
∴MC=5.
∴M(3,0).(1分)
设a′为y=3x+b,代入M(3,0)得b=-9.
∴直线a′解析式为y=3x-9.(1分)
(3)由(2)可知,当m=5时,点C′正好在AB上.
∴当5≤m≤10时,点C′在△ABC内,如图所示.
此时,重叠部分面积S=S△MC′N=S△MCN
=(
)2?S△ABC=30×(
)2=
(10-m)2,(2分)
当0≤m≤5时,点C′在△AB外内,如图所示.
∵AC=BC=10,
∴△ABC是等腰三角形,易知△AEM,
△BFN,△MCN都是与△ABC相似的等腰三角形.(1分)
∴S△AEM=(
)2?S△ABC=S△BFN,S△MCN=(
)2?S△ABC,
∴重叠部分面积S=30-(
)2×30×2-(
)2×30,
=6m-
m2(1分)
综上可知:S=
显然,在5≤m<10范围内,当m=5时,S最大=
;而根据二次函数性质,在0<m<5范围内,当m=
时,S最大=10.
所以,在0<m<10时,当m=
时,S最大=10.(1分)
易知MCNC′是菱形,所以当S最大时,
四边形MCNC′的周长=4×(10-m)=4×(10-
)=
.(1分)
∴OB=6,
∵C(8,0),
∴OC=8.
∴BC=
62+82 |
∴sin∠BCA=
OB |
BC |
6 |
10 |
3 |
5 |
(2)由y=3x+6可求A(-2,0),
∴AC=BC=10.
∴S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵a′∥a,
∴△MCN∽△ABC.(1分)
∴
S△MCN |
SACB |
MC |
AC |
∵S△MCN=
15 |
2 |
∴
MC |
AC |
1 |
2 |
∴MC=5.
∴M(3,0).(1分)
设a′为y=3x+b,代入M(3,0)得b=-9.
∴直线a′解析式为y=3x-9.(1分)
(3)由(2)可知,当m=5时,点C′正好在AB上.
∴当5≤m≤10时,点C′在△ABC内,如图所示.
此时,重叠部分面积S=S△MC′N=S△MCN
=(
MC |
AC |
10?m |
10 |
3 |
10 |
当0≤m≤5时,点C′在△AB外内,如图所示.
∵AC=BC=10,
∴△ABC是等腰三角形,易知△AEM,
△BFN,△MCN都是与△ABC相似的等腰三角形.(1分)
∴S△AEM=(
m |
10 |
10?m |
10 |
∴重叠部分面积S=30-(
m |
10 |
10?m |
10 |
=6m-
9 |
10 |
综上可知:S=
|
显然,在5≤m<10范围内,当m=5时,S最大=
15 |
2 |
10 |
3 |
所以,在0<m<10时,当m=
10 |
3 |
易知MCNC′是菱形,所以当S最大时,
四边形MCNC′的周长=4×(10-m)=4×(10-
10 |
3 |
80 |
3 |
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