如图,已知直线a的解析式为y=3x+6,直线a与x轴.y轴分别相交于A.B两点,直线b经过B.C两点,点C的坐标为

如图,已知直线a的解析式为y=3x+6,直线a与x轴.y轴分别相交于A.B两点,直线b经过B.C两点,点C的坐标为(8,0).直线a沿x轴正方向平移m个单位(0<m<10... 如图,已知直线a的解析式为y=3x+6,直线a与x轴.y轴分别相交于A.B两点,直线b经过B.C两点,点C的坐标为(8,0).直线a沿x轴正方向平移m个单位(0<m<10)得到直线a′,直线a′与x轴.直线b分别相交于点M.N.(1)求sin∠BCA的值;(2)当△MCN的面积为152时,求直线a′的函数解析式;(3)将△MCN沿直线a′对折得到△MC′N,把△MC′N与四边形AMNB的重叠部分面积记为S,求S关于m的函数解析式,并求当S最大时四边形MCNC′的周长. 展开
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尛辰丶2042
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(1)对于y=3x+6,可求B(0,6).(1分)
∴OB=6,
∵C(8,0),
∴OC=8.
∴BC=
62+82
=10.(1分)
∴sin∠BCA=
OB
BC
=
6
10
=
3
5
.(1分)

(2)由y=3x+6可求A(-2,0),
∴AC=BC=10.
∴S△ABC=
1
2
AC×OB=
1
2
×10×6=30.(1分)
∵a′∥a,
∴△MCN∽△ABC.(1分)
S△MCN
SACB
=(
MC
AC
2
∵S△MCN=
15
2

MC
AC
=
1
2
.(1分)
∴MC=5.
∴M(3,0).(1分)
设a′为y=3x+b,代入M(3,0)得b=-9.
∴直线a′解析式为y=3x-9.(1分)

(3)由(2)可知,当m=5时,点C′正好在AB上.
∴当5≤m≤10时,点C′在△ABC内,如图所示.
此时,重叠部分面积S=S△MC′N=S△MCN
=(
MC
AC
2?S△ABC=30×(
10?m
10
2=
3
10
(10-m)2,(2分)
当0≤m≤5时,点C在△AB外内,如图所示.
∵AC=BC=10,
∴△ABC是等腰三角形,易知△AEM,
△BFN,△MCN都是与△ABC相似的等腰三角形.(1分)
∴S△AEM=(
m
10
2?S△ABC=S△BFN,S△MCN=(
10?m
10
2?S△ABC
∴重叠部分面积S=30-(
m
10
2×30×2-(
10?m
10
2×30,
=6m-
9
10
m2(1分)
综上可知:S=
6m?
9
10
m2,0<m<5
3
10
(10?m)2,5≤m<10

显然,在5≤m<10范围内,当m=5时,S最大=
15
2
;而根据二次函数性质,在0<m<5范围内,当m=
10
3
时,S最大=10.
所以,在0<m<10时,当m=
10
3
时,S最大=10.(1分)
易知MCNC是菱形,所以当S最大时,
四边形MCNC的周长=4×(10-m)=4×(10-
10
3
)=
80
3
.(1分)
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