已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．（1）若函数g（x）=x，f（x
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．（1）若函数g（x）=x，f（x）在区间（-∞，a3）内单调递减，求a的取值范围；（2）...
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．（1）若函数g（x）=x，f（x）在区间（-∞，a3）内单调递减，求a的取值范围；（2）当a=-1时，证明方程f（x）=2x3-1仅有一个实数根．（3）当x∈[0，1]时，试讨论|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件．
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（1）∵f（x）-2x＞0的解集为（-1，3），
∴可设f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，
因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax2+2（1-a）x-3a①
g（x）=xf（x）=ax3+2（1-a）x2-3ax，
∵g（x）在区间 (?∞，
)内单调递减，
∴g′（x）=3ax2+4（1-a）x-3a在 (?∞，
)上的函数值非正，
由于a＜0，对称轴 x＝
＞0，
故g/(
)＝
+
a(1?a)?3a≤0
注意到a＜0，∴a2+4（1-a）-9≥0，
得a≤-1或a≥5（舍去）
故所求a的取值范围是（-∞，-1]．
（2）当a=-1时，方程f（x）=2x3-1仅有一个实数根，即证方程2x3+x2-4x-4有且仅有一个实数根．
令h（x）=2x3+x2-4x-4，
由h′（x）=6x2+2x-4=0，得x=-1，或x=
由此易得函数h（x）=2x3+x2-4x-4在区间（-∞，-1），（
，+∞）上单调递增，在区间（-1，
）上递减
h（x）的极大值h（-1）=-1＜0
故函数h（x）的图象与x轴仅有一个交点，
∴当a=-1时，方程f（x）=2x3-1仅有一个实数根
（3）设r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax2+x+1，
r（0）=1，对称轴为x=?
由题意，得
或
∴可设f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，
因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax2+2（1-a）x-3a①
g（x）=xf（x）=ax3+2（1-a）x2-3ax，
∵g（x）在区间 (?∞，
| a |
| 3 |
∴g′（x）=3ax2+4（1-a）x-3a在 (?∞，
| a |
| 3 |
由于a＜0，对称轴 x＝
| 2(a?1) |
| 3a |
故g/(
| a |
| 3 |
| a3 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
注意到a＜0，∴a2+4（1-a）-9≥0，
得a≤-1或a≥5（舍去）
故所求a的取值范围是（-∞，-1]．
（2）当a=-1时，方程f（x）=2x3-1仅有一个实数根，即证方程2x3+x2-4x-4有且仅有一个实数根．
令h（x）=2x3+x2-4x-4，
由h′（x）=6x2+2x-4=0，得x=-1，或x=
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| 3 |
由此易得函数h（x）=2x3+x2-4x-4在区间（-∞，-1），（
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| 2 |
| 3 |
h（x）的极大值h（-1）=-1＜0
故函数h（x）的图象与x轴仅有一个交点，
∴当a=-1时，方程f（x）=2x3-1仅有一个实数根
（3）设r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax2+x+1，
r（0）=1，对称轴为x=?
| 1 |
| 2a |
由题意，得
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